上次我们说到朱载堉想出了总结十二等程律的主意,上次我们说到的朱载堉是站在前辈的双肩上攀上了音律世界的终极

《时间之问》是一部作者和学生对话互换的“记录”,采用“时间”作为跨学科商讨的媒人,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国太古文化等不等科目,这个话题像一颗颗散落的珠子,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以碰到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price(Price)等大数学家,也会发现庄子休、博尔赫兹、史铁生、Plato等文哲我们。

《时间之问》是一部作者和学习者对话交流的“记录”,拔取“时间”作为跨学科研讨的介绍人,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国太古文化等不等科目,那多少个话题像一颗颗疏散的珍珠,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以赶上祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大地理学家,也会意识庄子休、博尔赫兹、史铁生、柏拉图(Plato)等文哲我们。



《时间之问21》登上《Nature》的音律高人(上)

《时间之问20》立春大寒与黄钟大吕?

引子:100多年前,有名科学杂志《Nature》刊登了一封来自长时间东方学者的通信,探究并指出了天堂声学作品《声学》中的一个谬误。《Nature》的编写和审稿人惊奇地窥见那么些题目早在数百年前就被南宋朱载堉研商过,并且是以如此概括的试行方法取得的。

引子:朱载堉独居土屋十载,骨肉分离不得相见,人生进入了寒冬。他在人生极寒的立春里看到了一阳复生的期待,看到了二阳赶来、三阳开泰,最后从节气的变更里悟到了黄钟大吕的音律之谜。



一周后,学生和教育者又会师了。

一周后,学生和讲师在食堂相会了。

“上次大家说到朱载堉想出了总结十二等程律的主意,解决了三分损益法不可以圆满返宫的问题。”老师商议。

“上次大家说到的朱载堉是站在长辈的肩头上攀上了音律世界的极限,他推向了关门了一两千年的浴血的大门,为大家开辟了另一个奇特的音乐世界。”
先生商议。

“嗯,朱载堉做出了不可替代的贡献。”

“嗯,天时、地利、人和有着,太巧了。”

“然则,三分损益法也有可取之处,就像牛顿(牛顿(Newton))力学定律即使不可以精确测算接近光速的运动,远不如狭义相对论准确,但它在一般工程测算中仍有效。”

“不过大家上次却没有涉及另一个重大的“人和”。”

“嗯,用朱载堉的十二等程律总括得到的第七律和五度相当相近,几乎听不出来。”

“哦,是吗?这个“人和”是谁?”

“可是,反过来说,相对论毕竟是对牛顿(Newton)经典定律的三次革命性突破,而朱载堉的十二等程律也是对三分损益法的历史性改进。”

“朱载堉自己。”

“是的,不过我有一个题目,为啥偏偏是朱载堉而不是人家发现了十二等程律?”

“你是说她本人的德才吗?”

“你干什么这么问啊?”老师问道

“不全是。一个人可以以一己之力跨越千年的绿篱,尽管聪明才智不可或缺,但还有更首要的原因。”

“中国历史这么久远,人才如此荟萃,朱载堉的先驱就没有优质的既懂音律又懂数学的雄才大略吗?这个人中难道就从不想到十二等程律吗?”

“这是怎么?”

“哦,你说的对,朱载堉在此以前的确有过不少数学音乐奇才,他们对这些问题展开了尖锐研商。”

“你还记得年少时这些令她欲哭无泪的家族恩怨吗?”

“他们是什么人吧?”

“记得。”

“例如玄汉的京房,他用三分损益法平昔总计下去,得到了53个音律。为了和戊午60相对应,他又十分算了7个音律,最后落得了60律。”

“他的二叔无辜被关进高墙,自己被剥夺了王子冠带。朱载堉的人生好像跌进了冰洞,天空阴云密布,北风呼啸,雨雪交加。但中年从此,他逐渐看淡了世事无常。”

“哇!一个八度里有如此多音律。”

“这多少个家族恩怨渐渐在她内心随风而去?”

“不过,还有更多的吗!钱乐之继续用三分损益法算下去了,居然算到了三百六十律。”

“嗯,他逃脱尘世苦恼,一头扎进另一个社会风气里。这里没有江湖纷争和尔虞我诈。他静心无虑,潜心情考。虽然重新回升王子地位,他也没有想过使用手中的权限去报复当年的告发者,即使这对于一个获取始祖尊崇的人的话这样做容易。”

“三百六十律?!我狐疑她的耳朵到底有多利索,能在一个八度内区分出三百六十个不同的腔调。”

“哦,他在做什么吧?”

“但不管京房仍然钱乐之,他们都严密攥着三分损益法不放,每隔音律是下一个音律的2/3要么4/3倍数,因为分数是有理数,所以具有的音律都是有理数,从未敢跳出这多少个界定,去无理数的世界里去品尝一下,所以仍存在不可以返宫和音律不等距的题目。”

“他安静的,像一位沉静的儒者,平静的表面下面不再涌动仇恨与烦恼,而是充满了沉思和喜乐。他沉浸在动脑筋和总结中,孜孜不倦的追求一个谜一般的数字,追求一个完善的音律序列,追求能让音律完美返宫的不二法门。”

“难道没有人跳出三分损益法去找寻答案吧?”

“他为啥如此着迷呢?”

“有,这厮是南北朝的何承天。你还记得呢?大家在谈论祖冲之的时候关系过何承天编制的历法,祖冲之对那些历法举办了修正。”

“因为她信任找到了这多少个完美的音乐序列,音律将永生永世和谐,音乐和西方一揽子呼应,礼乐将不再崩坏,国家将稳定。”

“哦,我想起来了。”

编钟

“何承天认为三分损益法之所以不能够返宫是因为在胚胎的黄钟音和平息的清黄钟音之间存在音差,他把这些音差平均分配到十二律当中,在十二律的音差部分形成了一个等差数列,那可以算得放任五度相生法的一个事例。”

“我清楚了,你说的“人和”是指朱载堉内心的宁静?”

“哦,这它的效果如何呢?”

“我先讲一个故事吗,也许听完后我们会更好地知道他。”

“嗯,相比较相近平均律。不过朱载堉认为啥承天的做法是“强使还元,无法取信于人”。”

“好啊。”

“哦,朱载堉的情趣是其一反复原理上讲不通?”

“故事的主人也是明朝人,生活的年代比朱载堉五伯稍早,他也曾考虑过音律的题目。在她和弟子留下的创作中,记录了这般一段对话。对话中“先生”和弟子“洪”啄磨了音律的“元声”从何而来。”

“对。之后又有人对三分损益法举行了修正,例如刘焯的等差管律,王朴的纯正音阶律,蔡元达十八律。”

“哦,元声是什么?”

“等差数列?大家今日精通音律之间应该是等比数列吧?”

“元声就是黄钟之音。”

“对,明朝的刘焯大胆违背三分损益法,构建了音律等差数列,即便失利了,却为朱载堉打开最后的大门提供了借鉴,除了三分损益法另外措施也得以尝试。”

知识分子曰:古乐不作久矣。

洪要求元声不可得,恐于古乐亦难复。

士人曰:“你说元声在何处求?”

对曰:“古人制管侯气,恐是求元声之法。”

莘莘学子曰:“若要去葭灰黍离中求元声,却如水底捞月,如何可得?元声只在您心上求。”

曰:“心怎么着求?”

左徒曰:“古人为治,先养得人心和平,然后作乐。比如在此歌诗,你的志气和平,听者自然悦泽兴起,只此便是元声之始。

“朱载堉对先辈艺术存在的题目都精晓吗?”

“这段话里的知识分子是何人吧?”

“他心灵清清楚楚。即使新的律法仍是迷雾重重,可是朱载堉对团结信心十足。他把团结创立的法子称为新法,而从前的叫旧法。”

“就是上次大家提到了与朱载堉的外舅祖何瑭同朝的大臣王阳明,他和弟子钱德洪对音乐有过三次探讨。”

“新法比旧法好在什么地方啊?”

“这是怎么回事呢?”

“朱载堉认为新法相邻六个音律之间的比值更加纯粹,所以叫密率。后人把朱载堉的点子称为新法密率。”

“弟子说西晋的黄钟之音已不可得,所以不可以复苏大舜和孔夫子这种淳朴的古乐。先生反问:怎么着找到黄钟之音呢?弟子说:古人在小满时刻在律管里装上烟灰,当冬至时刻来临之时,阳气上升,假使烟灰向上扬起,对应长度的律管就是黄钟。”

“旧法往而不返,别造新法。” –《律吕精义·内篇》

“哦,这措施听起来有些神秘。”

“这么些密率就是上次大家说过的1.059… 背后有24位小数吗?”

“嗯,先生说:恐怕这样求得的黄钟只是水中月而已。”

“对,就是大家上次说的对2先五遍平方,然后开两回方得到的。”

“这怎么才能找到黄钟之音呢?”

“奇怪了,在加减乘除、乘方、开方这么多中运算形式中,朱载堉是怎么想到开方运算的,而且是先开平方、再开平方,然后开立方的?莫非他有神助?”
学生不解地问道。

“先生说:黄钟之音只可以在心上求。”

“其实朱载堉本来也是相信三分损益法的,因为这些阵营声势浩大,为首的就是闻明的学者朱熹。”

“在心上求?”

“哦,朱熹啊,一代文学宗师呢!” 学生惊讶道。

“嗯,弟子也不解这是何意,问:怎样在心上求?先生说:大舜等古人治理天下,首先要自己人心和平,然后作乐曲,乐曲淳厚动听,听众才自然欢乐兴起,那一个音便是元声的苗子。”

“嗯,朱载堉冥思苦想晋朝的音律,不过久久不得其解。一天她抚琴放松一下。在悠扬的琴声中,朱载堉思绪先导在音乐中飘散开来。长久的音乐磨炼让她的耳根非凡灵敏,他似乎不是用耳朵来听音乐,而是直接用心灵来察看音律。”

“听起来有些道理。可是假如心气平和就能找到黄钟之音吗?” 学生问道。

“这地步一般人难以达到。”

“当然不是这般简单,然则只要人心不纯,私心杂虑涌动,曲调自然也紊乱,固然有精准的律管又有如何用呢?”

“琴声低沉时,他也心理低落;琴声悠远,他的思绪也飘到了天尽头。当琴声再次低沉把他拉回现实时,他似乎觉察出琴音有些有失水准,但是又说不上来。个中滋味,恐怕唯有自己心里清楚。”

“哦,所以首先要人心和平?”

“嗯。”

“对。朱载堉可以找到完美返宫的音律、找到黄锺逆生仲吕、循环无端的良方,首先要让心灵宁静下来。”

“朱载堉低头看自己手指抚琴的职位,刚好是三分损益法所带领的艺术,千真万确,一点都不利。这是无数棋手引导的不二法门,历经千年传习。”

“哦,这没那么容易啊。”

“对啊。”

“不论曾经遭逢如何不平和白眼,不论曾经受到这多少个身世起伏,都要暂时放下,回归到一颗平和的心尖。”

“可是朱载堉惊奇地发现,这么些法子的琴位和琴音就是有那么一些不合。”

“嗯。”

“哦,到底哪个地方出了问题吗?”

“静谧下午,朱载堉遥望星空,思考着乐律之谜。上天到底把谜底藏在何地?他抚今追远,思考着古往今来的自然界的秘闻:春华秋实,花开花谢,是四季的循环;日泽光线,旦南开兮,是一日夜的轮回;月盈月亏,是八月的大循环。”老师商议。

“朱载堉知道,抚琴比吹奏笛子复杂得多,一手在特定岗位按住琴弦,另一只手弹琴。当琴弦按下的岗位稍有两样,琴音就变得不平等了。假设严谨服从三分损益法来抚琴,有些音里面的音差大,而有点音里面的音差小,并不均等,所以音调听起来忽高忽低。”

“嗯,万物周而复始,循环不已。”

“什么都逃不脱他这灵敏的耳朵!”

“可是朱载堉自问,他所喜爱的音律咋样才能透过十二律回归到黄钟之音?”

“朱载堉昼夜思索,试图穷尽这背后的原委。他把南宋从春秋东全面汉唐径直到方今的音律经典书籍都拿出去,逐一核对,什么也一向不找到。不过当她用算盘一一验算这一个律法时,音律背后的数字在他的算盘上赫然变得清楚起来。”

“是啊,这是一个千年大哉问!”

“他有了如何发现?”

“对于她协调的人生受到而言,他一度搬出土屋,回到王宫。小寒已经仙逝,物极必反,苦尽甘来。你还记得吗?我们原先说过,立冬意味着阴极之至,阳气始生,从此以后阳气最先会合,一阳生复,二阳来到,三阳开泰。”

“他冷不防发现,这么些数字无论怎么总结,都不可以穷尽。他算是豁然醒悟了!”

“嗯,我们说过小暑一阳生,是万物復苏的始发。”

“醒悟到哪边了?”

星空

“那么些都只是好像而已。即使这一个都是前人留下的宝贝,但朱载堉意志已决,不可能膜拜这一个先贤留下来的音律了。”

“对,朱载堉也初始从人生的小暑中休息。极寒的巅峰意味着温暖的回归,而人生的低谷也预示着新的盼望和追求。他从音乐中寻求安慰,也谋求音乐的谜语。在人生遭逢的巨变、和时节的渐变中,他体察到了音乐的变化。”老师商议。

“近似?前人算得都不够规范?”

“这是哪些看头啊?”

“嗯,朱载堉认为,二千年来所有人都把南陈音律奉为圭垚,从未有人嘀咕。那些记录在经典书籍中的方法都不可信。朱载堉下定狠心、放任三分损益法,自己尝尝新的乘除方法。”

“我想,对于一位超越天文、历法、音乐、舞蹈几个领域的百科全书式的人士,朱载堉很自然地会从季节的浮动中搜索答案吧。”

“但要是如此,他就孤单影只了。”

“哦,很有可能。”

“嗯,确实如此。他相见了前未有过的孤苦。朱载堉意识到,唯有精打细算得颇为准确才有可能解开音律的末段奥秘。不过现有的工具却不够用了。”

“朱载堉知道,从大暑先导太阳每隔12个月多或多或少回归四次,是一年。而至极被叫做岁星的木星每隔将近12年回归五回,是一个地支的巡回。”

“这她咋办?”

“嗯。”

“他一不做二不休,干脆自己先导先表明了新的工具。他做了81档的双排算盘。加减乘除不够,他协调发明了开平方和成立方口诀。”

“但他也卓殊明了,太阳回归并不是刚刚12个朔望月,而是12.3682…个月,而木星的回归,也不是刚刚12年,而是11.86…年。每个数字前面都有为数不少个小数位,似乎从未限度,难道天意真的难测?朱载堉自问。”

“嗯,遇山开路,遇水架桥。”

“嗯,这些题材很难回答。”

“他操起大算盘,打得噼里啪啦响。打完算盘,拿到一个数字,他把新统计出来的数值标记在琴弦旁边,以和三分损益法得到的职务作相比较。他在这多少个职位上弹一下,验证是不是异常音。”

“不过,他经过努力推算已经把12.3682前面的小数部分变得又进而准确,准确性甚至超越了西夏出名科学家郭守敬制定的“授时历”。”

“嗯,理论结合实施。”

“这会令她稍感欣慰吧?”

“他没日没夜地总结,反反复复弹琴验证。连王宫里的乐工们都觉着王子这个天不对劲,茶饭不思。乐工们见到朱载堉在琴弦旁边标注的新音律,卓殊奇怪,于是攀谈起来。”

“是的,他想既然天意都有准时,何况音乐!然则他对两千年来音乐的钻研很不佳听!”

“他们谈了什么?”

“为啥吧?”

“朱载堉说那是她总计出来的新音律,并请教乐工怎么着找到最佳的音律地点。一位知名的乐工拱手说道:依据古法是“四折去一,三折去一”。说着无意听者有心,朱载堉眼前一亮,立时在一堆凌乱的纸堆里找出一张算纸,上边有一串数字。他匆匆把这多少个数字打到算盘上,口中念念有词,指尖灵活地在悠扬的算珠上飞来飞去。乐工们看呆了,悄悄地退到了一次,面面相觑,默然不语。”

“朱载堉认为,历代的律家固守三分损益法,就像很久前的历儒家认为一年有365又1/4天那么。”

“这是怎么了?”

“一年365.25天?这是春秋时期人们对一年长度的视角吧?”学生问道。

“一顿天昏地暗的日子之后,朱载堉的面颊挂上了久违的微笑。”

“对。朱载堉认为三分损益法就像一年365.25天一样,只是大约的数字,并不规范。可是自从汉朝来说千余年,人们因为怀疑四分之一度不准而不止修正,到后唐授时历已经准确到了365.2425天,这和当前的农历已经完全一致。但在律法上,二千年来人们却常有没有怀疑三分损益法,结果时间越久人们对其更加恭敬,不敢越雷池半步。”

“他悟出哪些了?”

“哦,是啊,为啥会如此啊?”

“乐工所说的四折、三折,正是朱载堉想要的。”

“朱载堉不禁大声质问,为啥讨论律法和历法的人智力水平分外,历法不断提高,而音律则原地踏步,为啥离开这么悬殊呢?”

“他想要的怎么?”

盖律家所谓三分损其一者,犹历家所谓四分度之一也,皆大略之率耳。自汉刘洪以来千有余载,疑四分度之一者疑之转深而转密;信三分损其一者信之弥久而弥竦:何律历二家愚智相较、霄壤相悬也!—
朱载堉 《律吕精义·序》

“四折去一、三折去一里的“折”,本意是把琴弦折叠,是乐工在琴上找地方的口诀。但对此朱载堉这样的物经济学家来说,“折”意味着开方。”

“那就是存疑和信仰的区分呢?!”

“啊哈!一语双关,惊醒梦中人!”学生惊讶道。

“对,怀疑是毋庸置疑发展的驱重力。朱载堉认为一旦有质疑精神,同样可以把音乐总计得像历法一样精准。”

“朱载堉惊喜地意识:四折就是开五遍方(也就是开四回平方),三折就是开立方,先开一次方再开两遍方,总共就是开十二次方,他去算盘上演算,果然可以完美返宫,拿到了期盼的十二等程律!”

“哦,他这么说的按照是怎么啊?”

“哇,巧了!”

“因为朱载堉相信,音乐生于数字,数字和音乐本是一家。如不信,则足以用总计出来的数字和琴音相比较对,它们必然符合得严丝无缝。”

“即使思考的历程唯有朱载堉心里知道,然而在虚虚实实之中,朱载堉捅破了那一层窗户纸,找到了通向音乐殿堂的暧昧数字,他震撼地把这一段经历特意记录下来。”

夫音生于数也,数真则音无不合也… 数与琴音互相校正,最为符合。

臣尝宗朱熹之说,依古三分损益之法以求琴之律位。见律位与琴音不相协而疑之,昼夜思索,穷究此理。一旦豁然有悟,始知古四种律皆近似之音耳。此乃二千年间言律学者之所未觉。惟琴家按徽,其法四折去一,三折去一,俗工口传,莫知一贯。疑必古人遗法如此,特记载于文字耳。—《律吕新说·卷一
密率相求第三》

“哦,只有深入了然数学的浓眉大眼会这样想呢?”

“这接下去,朱载堉怎么验证他的十二等程律是对的呢?”

“对,朱载堉平生最大爱好不是其余,正是数学。不仅热爱,他一连要固执地把数字的精度总计到终点。他信任,既然历法家可以把回归年长度总结得分毫不差,他一如既往可以用数学把音律的比率统计得分毫不差。他用大算盘四遍五遍不厌其烦地演算,得到一个数字就记下来,积累了重重数字之后,再统计他们之间的比率,久而久之,他醍醐灌顶了。”

“既然要用实验求证,就无法不有用十二等程律制成的乐器,还要有用十二等程律写成的乐曲。”

余为人无所长,惟算术是好。因其所好而益穷之,以至求乎其极。用力既久,豁然贯通。。。

“朱载堉找人去制作乐器和作曲了?”

“他了然到什么了?”

“不,都是她一个人做的。”

“朱载堉发现,那多少个雅乐的奥秘之理,完全能够用浅显的言语清清楚楚地说明出来。而这些别人看似迂腐繁杂的乐律学问,却在他的数字聚光灯下精神毕现。音律不再是三分损益法得到的那个看似数值,而得以用非常精准的数字描述的分毫不差。”

“不会吗?!我听说数学学得好的,弹琴弹的好,手工很巧的,作曲有灵感的,不过还要把那些都摆弄的很厉害的,朱载堉是独一人。这她是咋办的?”

以浅近之辞,发挥高深之理,以细小之数,探讨迂阔之学,得其精而忘其粗。

“首先朱载堉自己打造了音高标准的律管。他搜集了金门山竹,拔取这么些长节的小竹子,所有竹子都要粗细相等,然后做成三十六根长短不一的律管,正律十二意味着中音,倍律十二意味着低音,半律十二意味着高音。”

“这他碰到咋样启示?”

“他想,既然从小雪到下一个大暑是一个循环往复,那么从黄钟到下一个清黄钟也理应是一个巡回,两者都是一个完美的圈子。”

“不过竹子不易长日子保存吧?”

“圆形?”

“对,他还打造了铜制律管。在她写作里她详细描述了怎么创制沙模、烘干、浇铸、钻孔、抛光、截断,最终镀金的一多级工序。”

“对,既然要完美返宫,最完美的模样就是圈子。唯有把圆形等分之后,每一份才是均等的。”

“简直一个高级技工。”

“节气和音律怎么对应呢?” 学生问道。

“律管做成后,就足以做听音实验了,务必确保八度相和、五度相和。”

“你看,从处暑出发,经历小暑、白露、夏至再回到大雪,刚好经历了一年。而在音律上,从黄钟音最先,逐步裁减律管长,就有了大吕、太簇、夹钟…
,当律管长减小到黄钟音律管长的一半时,刚好经历了十二律,音调变大了两倍,回归到了清黄钟音。”

“嗯,然后就可以成立乐器并调音了?”

黄钟-大吕-太簇-夹钟-姑冼-仲吕-蕤宾-林钟-夷则-南吕-无射-应钟

  • 清黄钟

“对,之后朱载堉制作了各样十二等程律乐器,有编管、排箫、笛、笙、琴瑟、钟磬等。他创设了社会风气上项目最多的十二等程律乐器。除此之外,朱载堉还制作了均准来定音律。”

“哦,是啊,它们都是回归。”

“均准是什么?”

节气与音律的对应关系

“它是一件用于定音律的弦乐器,有多根弦,本身就是一件乐器,也是世界上最早的基于十二等程律的弦乐器。”

“对。从黄钟音到清黄钟总共是十二律。朱载堉想,能无法找到一种办法把黄钟到清黄钟中间等分为12份?”

“哦,我想起来了,钢琴的其中其实也是琴弦。”

“就像等分一年的节气这样?”

“对,而且现代钢琴也是听从等程律来定律的,所以朱载堉创设的均准可以说是当代钢琴调音定律的鼻祖。”
先生商议。

“对。假诺把音律比作历法,这12个相邻的律就是12个中气,也就是12个节点。”

“难怪刘半农先生表扬到“全世界文明各国的乐器,有万分之八九都要依着他的不二法门造”。”

“哦,是呀。” 学生若有所思。

“在打造十二等程律标准律管的长河中,朱载堉又有了一个重中之重发现—管乐器的管口效应。那么些发现在三百年后于十九世纪末竟然登上了享誉的学术期刊《自然(Nature)》。”

“若是能找到一种均分的音律类别,这样从黄钟音出发,既可以从高音旋转到低音,又有何不可从低音旋转到高音,这样无论怎么转调都不会跑偏,就足以兑现完美返宫。”

“哦,什么可以吸引《Nature》的见识啊?”

“这真是一个名特优的主意!那咋样均分音律?”

“大家理解,笛子、箫等管乐器有一个言语,这个讲话会潜移默化律管的声调大小。对于琴弦等弦乐器来说,弦长减半,音调刚好提高八度。然而对于说话的管乐器,管长减半,音调变化却不是八度。”

“还记得呢?我们往日讲过,西周时只有两个节气,两分两至,把一年等分为四份。而首先被测定的是小暑和春分,因为它们的影长分别是最长和最短的,那么有了大寒和大暑就把一年二等分了。”

“这是一再呢?”

“嗯,是这样的。”

“朱载堉用各类长度和内径的律管做尝试,并相比律管和弦乐器的差别。他意识说话律管长度减半,发音都将比正规的腔调降低一律。管长减半,音调变化不是刚刚八度,而是大七度。”

“这样就迈出了24等分的首先步。接下来把立冬和惊蛰期间的岁月继续二等分,就找到了冬至和冬至。”

以竹或笔管制黄钟之律一样两枚,截其一枚分作两段,全律、半律各令一人吹之,声不必相合矣。此昭然可验也。

“嗯。”

“什么来头引起的啊?”

“接下去,把这两个节气之间的刻钟都作三等分,就找到了具备12个中气的附和的天天。最终一步,把附近中气之间的时刻二等分,就找到了此外12个节气的随时。所以首先要把黄钟到清黄钟的八度作二等分。”

“前几天我们知道,这是因为出口律管内的空气柱要多少超出管长,相当于管长变长,所以管音要大跌部分。这就是管乐器的前面效应。朱载堉发现了这么些情形,并且付诸了校准的方法。”

“这她是咋样二等分的啊?”

管口效应

“假如黄钟音的律管是2,清黄钟音律管是1,这两个音里面的等距的音律叫蕤宾。”

“这跟《Nature》杂志有咋样关系呢?”

“这么说,等分黄钟和清黄钟的蕤宾的律管应该是1.5?” 学生问道。

“到了楚国末期,江南创造局创立了编译馆,有名学者徐寿任总管。我们现在使用的元素周期表里的多数元素名称,就是他俩翻译过来了。编译局翻译的各国科学作品有大英帝国化学家JohnTyndall讲师的《声学》(On
sounds)。徐寿研读了这本书后,亲自做尝试,发现其间竟是有一个谬误。”

“不,你忘掉了吧?音乐讲求的比率而不是差值。” 先生商议。

清末数学家徐寿

“是啊,我差点忘记这点了。那1和2当中的数相应是稍微吗?让自己思考,是根号2呢?”

“什么错误?”

“正解!只有根号2才是1和2里头的等比中间值。”

“书中涉嫌,说道管里的振动形式的个数与管子的长短成反比。换句话说,笛子长度减半,声调提升八度。徐寿认为这点不标准,需要更正才行。”

“既然黄钟和清黄钟之间是八度,那么位于中间的蕤宾距离黄钟就是四度或者半八度了?”学生突然想到了这一个。

“哦,这不是朱载堉曾经关系的管口效应呢?”

“你说得很对。可是朱载堉不是如此算的,他是用特别直观的图示来求解的。”

“对。为了验证他的见地,徐寿用开口的乐器做了试验,发现长度9英寸的黄铜管发出的声息频率并不是4.5寸的黄铜管频率的八度,而是要缩小到4寸才是八度关系。”

“哦?怎么作图呢?”

“嗯,这和朱载堉都观看到的气象是均等的。”

“朱载堉采用了《周髀算经》里的圆方图和周围图。圆方图就是圆内接一个正方形,而方圆图刚好相反,是圆外切一个正方形。”

“徐寿把自己的试验结果写了下去,并写了一封信,请即刻编译局的United Kingdom传教士傅雅兰把信件翻译为英文,分别寄给了约翰(John)Tyndall教师和《自然》杂志。”

圆方图与方圆图

“他在信里写了怎么着?”

“这三个图形有怎么着玄妙之处?”

“信中他表达了和睦的迷惑和尝试,并且说:中国西魏朱载堉已经观望到,律管减半或者加倍,音调变化八度这一法则仅对弦乐器有效,而对出口的管乐器则不行。”

“圆方图的圆的直径d刚好等于边长为a正方形的边沿。依照勾股定理,正方形的边长与斜边的比值为根号2,所以圆的直径等于正方形边长的根号2倍。”

“后来呢?”

“根号2?! 啊,朱载堉是这么找到四度关系的!” 学生咋舌地叫道。

“《自然》杂志收到来信后,邀请声学大学生斯通(Stone)Stone审稿。斯通(Stone)学士对此很感兴趣,他把温馨的眼光附在信后,他写道:

“是啊,根号2刚好是八度的一半。”

“很风趣的是,证实这个鲜为人知的实况却是来自长期的东边,而且是以如此简约的尝试方法得到的。”

“是的。这方圆图呢?”

“是啊,朱载堉和徐寿的尝试那样简单有效。”

“也有根号2的关系,你看,方圆图的正方形的边沿是圆直径的根号2倍,也是八度的一半。”

“杂志编辑也在信上添加了按语,并且添加了标题“中国的声学”加以公布。”

“嗯,接下去呢?”

“看来,发现对旧定律的真正有正确意义的现代修正却来自中国,并且以最原始的器物申明该修正是有依据的。”

“Acoustics in China”, Naure vol.23 (1880.11-1881.4), pp.448-449
(1881.3.10)

“接下去就好办了,我们在圆形上外切一个正方形,这一个新的大正方形的边沿又是圈子直径的根号2倍;再持续在大正方形上接一个大圆圈,那些大圆的直径又是大正方形的根号2倍。”

“嗯,几百年后朱载堉的觉察终于在世界的另一头拿走了响应。”

圆方嵌套图:黄钟1:蕤宾根号2:清黄钟2,中间相差五个四度,即八度

Nature刊登的《中国声学》

“嗯,果然如此,有点古怪,这恰恰是黄钟蕤宾的距离,也就是半个八度。”


“对,这样下来,一个正方形接着一个圆形,一个圆形又随即一个正方形,后一个圆形总是前一个方形的根号2倍,后一个方形也是前一个圆形的根号2倍,仿佛是把十二律等分为相等的两份,也就是把八度刚好分成五个半八度。”

未完,待续…

“哇,太巧了!这样就贯彻了二等分。”

“对,这一定于找到了大寒和冬至,也就是把一年分为两半。”老师商议。


“那咋样促成四等分呢?也就是找到南吕和无射这两律对应的数值。”

参考文献

  • 刘半农《十二等程律发明者朱载堉》 1933
  • 李约瑟
    主编,《中国科学技术史》第四卷第一分册,科学出版社,法国首都古籍出版社
  • 程贞一 《黄钟大吕—中国太古和十六世纪声学成就》,新加坡科技教育出版社
    2007年五月
  • 戴念祖 《朱载堉—楚国的不错和办法有名气的人》人民出版社 2011
  • 卓仁祥《东西方文化视野中的朱载堉及其学术成就》,中心音乐大学出版社
    二〇〇九年1月尾先版,隆玉麟译

“应用相同的准绳,就会发现从蕤宾到南吕的比率等于从南吕到黄钟的比值。这样南吕就应有是蕤宾和黄钟的等比分界点。”

“嗯,同意。”

“从蕤宾和黄钟是根号2,所以其一半就是把根号2继续开平方,也就是2的4次方。”

“现在已经成功四等分了。”学生说道。

“对,这一定于在清明和立夏之间找到立秋和惊蛰。”

“离十二等分只差一步之遥了。”

“最终,把自由多少个四等分之间音律平分三份就足以了。所以持续把四等分之间的比率开三遍方,也就是把2的4次方继续开立方,就拿走了2的12次方。这就是自由相邻两律之间的音程,相当于自由多少个中气之间的间距,比如从应钟到黄钟。”

“嗯,原理搞精晓了,这怎么总结呢?”

“朱载堉需要先总括2的平方,然后开方,最终再开立方。”

“不过,2的开方总括不是那么粗略吗?”学生问道。

“是啊,我们现在清楚,根号2是无理数,有无穷个小数位,可朱载堉那时还尚无总括器呢!更何况要总结2的12次方!”

“是啊,上天犹如出了一道难题,来考验朱载堉的了然。”

“尽管朱载堉没有电脑,可是她有算盘。”

“算盘?算盘不是做加减乘除的啊?还是可以用来开平方?开立方?”

“据文献记载,朱载堉从前的确尚未人用算盘做过开方。他应该是世界上率先个用算盘开平方、开立方的人。”

“哇。我记得用算盘总结需要口诀的,莫非他自编了一套开方口诀?”

“正是。例如朱载堉开立方口诀:“一已上开一,八已上开二,二十七已上开三…”

“我的天哪!”

“这些时期,算盘是社会风气上起始进的演算工具。朱载堉在总计比值时发现,开根号得到的数值必须特别精确。我先考考你,首个数值根号2,你还记得等于多少啊?”

“哦,1.414吧。”

“这是三位小数,精度远远不够。”

“这朱载堉要用算盘总结到多少位小数?”

“你竟敢猜一猜!”

“10位?”

“为什么?”

“因为我的无绳电话机里的统计器是10位。”

“大胆一些,继续猜!”

“天哪,比自己的手机还强大!15位?”

“再大胆些!”

“20位应该到终端了吗?!” 学生咽了咽口水说道。

“No! 是24位!”

“我的异常神啊!心肝都要跳出来了。难怪西晋的知名学者江永“一见而屈服”,不服不行啊!”学生感叹道。

“是呀,光用汉字写下这串数字都要好几分钟,别说算了。精确到小数点后24位,这称得上算学上的突发性了。”

“24位小数,这他用的算盘得有多大?”

“总共九九八十一档!连起来有几米长。”

“前无古人,恐怕后来人也屈指可数。”

“为了穷经音律的心腹,朱载堉可谓煞费苦心。用算盘总结的时候,朱载堉还发现了一个高速总括的妙法。”

“统计什么?”

“九进制小数和十进制小数的转换。”

“进制转换?这不是总结机里常用的操作吗?”

“对,不过总计机是在二进制和十进制之间变换,朱载堉却是在九进制和十进制之间变换,不过基本的法则却是一样的。西方的进制转换是德意志联邦共和国的莱布尼兹于1701年表明的,但朱载堉的进制转换比莱布尼兹提早了百余年。”

“这朱载堉是为啥要做进制转换的?”

“因为三分损益法以九寸作为黄钟,而朱载堉自己提议的十二等程律以一尺也就是十寸作为黄钟,所以二者之间需要频繁转移。”

“哦,朱载堉咋样转移呢?”

“朱载堉所做的变换,不是整数的转换,而是小数的转移,相当复杂。例如,九进制的0.8376转移为十进制就是0.936442。”

“我的头有点大,朱载堉想到了怎么好法子?”学生问道。

“朱载堉用算盘总括,例如从九进制转换为十进制,他从没有算起,用九除五次,移位再用九除五次,以此类推。因为每一回总有一些数位不参与总括,统计变得简单;而且在算盘上移动十分简单,每一步统计的结果都封存在算盘上,所以敲打五回算盘之后,总括结果就跃但是出。”

九除第四回:8.376/0.9=8.37666 (8.37不出席总结)
九除第二遍:8.3666/0.9=8.38518 (8.3不参估摸算)
九除第一遍:8.38518/0.9=8.42798 (8不参加统计)
九除第五回:8.42798/0.9=9.36442

“真是奇思妙想。”

“有了这巨型算盘和朱载堉自创的开方口诀和进制转换妙法,朱载堉实际上拥有了即刻世界上起始进的测算工具。这套工具一旦启动起来,世界为之震颤。”

“我的心也在震颤。”

“最后,朱载堉终于总结除了2的12次方等于1.059463094359295264561825。”

“佩服得老大了。”

朱载堉拿到的2的12次方的数值:1.059463094359295264561825

“因为附近音律之间都是这一个比率,所以从1起身,逐个乘以2的12次方,就得到了各种音律的数值。”

律名 比率
正黄钟 1.000000000000000000000000
倍应锺 1.059463094359295264561825
倍无射 1.122462048309372981433533
倍南吕 1.189207115002721066717500
倍夷则 1.259921049894873164767211
倍林锺 1.334839854170034364830832
倍蕤宾 1.414213562373095048801689
倍仲吕 1.498307076876681498799281
倍姑洗 1.587401051968199474751706
倍夹锺 1.681792830507429086062251
倍太蔟 1.781797436280678609480452
倍大吕 1.887748625363386993283826
倍黄钟 2.000000000000000000000000

“哇,大功告成!”

“嗯,看着这组奇妙的数字,朱载堉不禁自嘲。”

“自嘲什么?”

“他说自己可是是在搞这种不行的“屠龙”之术,有其巧而无其用。”

全同相马,有其巧而无其用。殆似屠龙,一以自喜,一以自笑。安知来世读吾书者,不喜吾之所喜,而笑我之所笑哉。

“这可以一定,有时候无效之用,堪称大用。”

“嗯。然则她随即说:何人能料到后世之人再读到我的书,不会欣赏我所喜爱的?不会像本人同一发生会心之笑?!”老师商议。

“嗯,何其自信!”

“有了那几个神奇的数字,朱载堉的十二等程律还差最后一步就能够完工了。”

“哦,是吗?我觉得早已完工了,还差哪一步呢?”学生问道。

“生律方法!”

“这是哪些意思?”

“就是怎么从任一律出发爆发出具有其他音律。我们相比较一下十二等程律和三分损益法的生律方法,就会发现朱载堉的十二等程律的长处了。”

“好的。这三分损益法是哪些生律的?”

五度相生.png

“三分损益法的生律法叫隔八相生 。”

“是何等意思?”

“举一个例子你就知晓了。从do音提升五度,频率增大3/2倍,就得到了so音。从do到so,在钢琴上是三个等距的半音,所以叫隔八相生。”

“为何是多个呢?”

“你看,从do出发,算上黑键,也算上起始的do和终结的so,总共是do, do#, re,
re#, mi, fa, fa#和so八个音。”

“原来如此。这继续稳中有升五度呢?依然隔八相生吗?”

“大家得以继承阐明一下。从so出发提高五度,得到了高音re,超越了八度范围,所以下降八度回到re,这时频率又增大了3/2倍后低落了2倍,变成了9/8倍。”

“怎么找到多个半音吧?”

“我们仍服从刚才的办法,从so出发,有so, so#, la, la#, si,之后就回到do,
因为降低了八度,接下去是do#和re,总共仍然三个半音。”

“有点意思,有点像我原先玩的打怪游戏,当怪物从屏幕右边消失的时候,它又会从屏幕左侧回来。移动到琴键最左侧的si之后,又从键盘的最左侧的do回来了。”学生说道。

“你比喻得很适量,确实这样。三分损益法只可以单向从左向右生律。”

“哦,是啊。这十二等程律呢?也是单向的呢?”

“不,它突破了隔八相生的单纯方法,可以正向也足以反向,总共四种办法生律。”老师商议。

新法不拘隔八相生,而相生有四法,或左旋或右旋,皆循环无端也,以证三分损益往而不返之误。

“哇,是哪四种呢?”

“朱载堉的编写里花了四段文字描述这这四种方法,可是我们不需要那么劳碌,只需做一个跳棋的小游戏就能够找到这四种艺术。”

“哦,是吗?六角跳棋吗?”

“不,是自身表明的一个小游戏。拿一个石英钟,平放。拿一颗跳棋放在12点地方。”

“假设没有石英钟呢?在纸上画一个可以吗?”

“当然可以。这么些游戏的平整是,假使以12点的岗位作为黄钟音,另外11个时辰作为其他的十一个音律。那么从12点出发,每趟跳的步数一样,怎么样跳可以把持有的钟点数字都跳五回,不多不少。”

“哦,那不是很粗略吗?我当下就悟出几种。第一种就是顺时针,从12点到1点,然后2点,最终回到11和12点。第二种是逆时针,从12点到11点、10点,然后重临1点和12点。”学生说道。

顺时针-隔二相生发生十二律

“嗯,正解。你的增幅是1,分别用正向和反向旋转,或者说步长分别是1和11的正向旋转。不过还有二种情势,就不是一眼能看出来了。”老师商议。

“哦,我再试试。如果幅度是2,那么从12启程,就是2、4、6、8、10、12,只可以跳到偶数,而无奈到达奇数。如若步数是3,只能到达3、6、9、12这五个数字。即使涨幅是4,只好到达4、8、12这五个数字。都没法暴发十二个音律。”学生说道。

步长为2,只好生成六律,无法爆发十二律

“对,再试试其余的小幅。”

“假如涨幅是5,可以到达5、10、3(15)、8(20)、1、6、11、4(16)、9(21)、2、7、12点,回到了12点。刚好每一个数字都跳过了,不另行也不少。这算一种生律方法吗?”
学生问道。

“对,算上跳棋的开场数字和得了数字,例如从5到10总共6个数字,所以叫隔六相生。跳12次回到出发点,完美返宫。”

涨幅为5,隔六相生,能够生成十二律

“有意思。假诺一次跳6步、8步、9步和10步,都没法把每一个点跳到。假如一遍跳11步,拿就和逆时针三次跳一步一样。”

“现在,只剩余跳7步了。” 先生商议。

“好,最终再试两回:从12起身,分别是7、2(14)、9、4(16)、11、6(18)、1(13)、8、3(15)、10、5(17)、12。回到12,不多不少刚好12次,没有重新也远非遗漏。这是第四种生律方法吗?”
学生问道。

大幅度为7,隔八相生,可以扭转十二律

“对,因为每一遍的步数是7,加上首尾两步,所以是八步,也就是隔八相生,那其实就是三分损益法。”

“哦,看来三分损益法的生律只是十二等程律的一种情景而已。”

“对,三分损益法只可以隔八相生。”

“假诺做一个逆时针的隔八相生会怎么着呢?”

“这就正好是隔六相生了。”老师补充道。

“哦,是啊,隔八相生和隔六相生刚好是顺时针和逆时针关系。”

“这后两种情势正是朱载堉的生父朱厚烷引导他的:仲吕顺生黄钟,返本还元;黄钟逆生仲吕,循环无端。无论正旋依旧反旋,都能生律,十二等程律都能无往不利返宫。”
先生商议。

“哇,真有先见之明!这对父子正是奇人!”

“嗯,有其父必有其子。”

“对了,我有一个题目,这样拿到十二等程律与三分损益法相比有什么样不同?”

“其实,固然在点滴的多少个八度内,二者差距不大。用耳朵很难区分出来,这实质上是好事。”

“为啥吗?”

“比如用三分损益法得到的五度,音律比值是1.5,而用十二等程律得到的音律比值是2的7/12次方,等于1.4983,二者差异如此之小,以至于一般人很难察觉出来。”

平均律

“哦,所以等程律得到的第六个音律和三分损益法拿到的五度没有什么样界别?”学生问道。

“对,听起来非凡和谐。”

“这如若在很广泛的音域内啊?”

“这十二等程律的优势就呈现出来了,例如在有些现代电子音乐中,它可以轻易转调。”

“哦,既和谐又随心所欲转调,十二等程律集悦耳和转调优点于一身。” 学生称扬道。

“总括一下,朱载堉的十二等程律解决了历代律法的三大误区和瑕疵:黄钟之长定为九寸;三分损益不可以返宫;只可以隔八相生。”

“我在想,这么优雅而精准的音律,朱载堉在此之前的人为何一贯不想到呢?”

“今日岁月不多了,大家下次再聊吧!”

“好的!老师再见!”

“再见!”


至于作者:笔名偶遇科学,喜欢追逐事物背后的原由和见仁见智科目标牵连,寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他收获了谨慎的沉思精神,更让他了解了无可非议背后温情和人文不可或缺。每一周他和学生在餐厅的定势约会,话题无所不包,一起发现科学、并享受思考的乐趣。



参考文献

  • 刘半农《十二等程律发明者朱载堉》 1933
  • 李约瑟
    主编,《中国科学技术史》第四卷第一分册,科学出版社,上海古籍出版社
  • 程贞一 《黄钟大吕—中国太古和十六世纪声学成就》,新加坡科技教育出版社
    二〇〇七年九月
  • 戴念祖 《朱载堉—北魏的不错和艺术有名气的人》人民出版社 2011
  • 卓仁祥《东西方文化视野中的朱载堉及其学术成就》,要旨音乐高校出版社
    二〇〇九年五月先是版,隆玉麟译