标量λ为特征向量对应特征值(eigenvalue),方阵푨的特征向量(eigenvector)

能够用与푨相关特征分解解释푨的奇异值分解。푨的左奇异向量(left singular
vector)是푨푨ᵀ的特征向量。푨的右奇异向量(right singular
vector)是푨ᵀ푨的特征向量。푨的非零奇异值是푨ᵀ푨特征值的平方根,也是푨푨ᵀ特征值的平方根。

特点分解(eigendecomposition),使用最广,矩阵分解一组特征向量、特征值。方阵푨的特征向量(eigenvector),与푨相乘分外对该向量缩放非零向量푣,푨푣=λ푣。标量λ为特征向量对应特征值(eigenvalue)。左特征向量(left
eigenvector) 푣ᵀ푨=λ푣ᵀ,右特征向量(right
eigenvector)。푣是푨的特征向量,任何缩放向量푠푣(푠∈ℝ,푠≠0)也是푨的特征向量。푠푣和푣有平等特征值。只考虑单位特征向量。

矩阵分解为感叹向量(singular vector)、奇异值(singular
value)。奇异值分散应用更宽广。每一种实数矩阵都有一个奇异值分解。非方阵矩阵没有特色分解。奇异值分解,矩阵푨分解成多个矩阵乘积。푨=푈퐷푉ᵀ。푨是m*n矩阵,𝑈是m*m矩阵,𝐷是m*n矩阵,𝑉是n*n矩阵。矩阵经定义后有新鲜结构。矩阵푈和푉正交矩阵。퐷对角矩阵,不必然是方阵。

《深度学习》

矩阵푨有多个规范正交特征向量,对应特征值λ₁的푣⁽¹⁾对应特征值为λ₂的푣⁽²⁾。所有单位向量u∈ℝ²集合,构成一个单位圆。所有푨u点集合。푨拉伸单位圆格局,将푣⁽i⁾方向空间拉伸λi倍。

各种实对称矩阵都得以分解成实特征向量和实特征值,푨=Q횲Qᵀ。Q是푨的特征向量组成正交矩阵,횲是对角矩阵。特征值횲i,i对应特征向量是矩阵Q的第i列,记Q:,i。Q是正交矩阵,푨看作沿方向푣⁽i⁾延展λi倍空间。两多或多少个特征向量拥有同样特征值,特征向量爆发生成子空间,任意一组正交赂量都是该特征值对应特征向量。可等价地从特征向量构成Q替代。按降序排列횲成分。特征分解唯一当且仅当有着特征值唯一。矩阵是奇怪的当且仅当含有零特征值。实对称矩阵分解可用以优化二次方程f(x)=xᵀ푨x,限制||x||₂=1。x等于푨某个特征向量,푓重回对应特征值。限制标准下,函数푓最大值是最大特色值,最小值是小小的特征值。

《深度学习》

SVD最有用性质,拓展矩阵求逆到非方矩阵。

打造具有一定特征值和特征向量矩阵,在目的方向上延伸空间。矩阵分解(decompose)成物征值和特征向量,分析矩阵特定性质。

参考资料:

特征分解(eigendecomposition),使用最广,矩阵分解一组特征向量、特征值。方阵푨的特征向量(eigenvector),与푨相乘万分对该向量缩放非零向量푣,푨푣=λ푣。标量λ为特征向量对应特征值(eigenvalue)。左特征向量(left
eigenvector) 푣ᵀ푨=λ푣ᵀ,右特征向量(right
eigenvector)。푣是푨的特征向量,任何缩放向量푠푣(푠∈ℝ,푠≠0)也是푨的特征向量。푠푣和푣有同等特征值。只考虑单位特征向量。

矩阵分解为惊诧向量(singular vector)、奇异值(singular
value)。奇异值分散应用更宽广。每种实数矩阵都有一个奇异值分解。非方阵矩阵没有特色分解。奇异值分解,矩阵푨分解成七个矩阵乘积。푨=푈퐷푉ᵀ。푨是mn矩阵,𝑈是mm矩阵,𝐷是mn矩阵,𝑉是nn矩阵。矩阵经定义后有新鲜结构。矩阵푈和푉正交矩阵。퐷对角矩阵,不自然是方阵。

矩阵푨有푛个线性非亲非故特征向量{푣⁽¹⁾,…,푣⁽ⁿ⁾},对应特征值{λ₁,…,λn}。特征向量连接成一个矩阵,每一列是一个特征向量,V=[𝑣⁽¹⁾,…,𝑣⁽ⁿ⁾]。特征值连接成一个向量흺=[λ₁,…,λn]ᵀ。푨的表征分解(eigendecomposition),记푨=Vdiag(흺)V⁻¹。

平头分解质因素。

逐个实对称矩阵都能够分解成实特征向量和实特征值,푨=Q횲Qᵀ。Q是푨的特征向量组成正交矩阵,횲是对角矩阵。特征值횲i,i对应特征向量是矩阵Q的第i列,记Q:,i。Q是正交矩阵,푨看作沿方向푣⁽i⁾延展λi倍空间。两多或八个特征向量拥有相同特征值,特征向量爆发生成子空间,任意一组正交赂量都是该特征值对应特征向量。可等价地从特征向量构成Q替代。按降序排列횲成分。特征分解唯一当且仅当有着特征值唯一。矩阵是惊奇的当且仅当含有零特征值。实对称矩阵分解可用来优化二次方程f(x)=xᵀ푨x,限制||x||₂=1。x等于푨某个特征向量,푓再次回到对应特征值。限制条件下,函数푓最大值是最大特点值,最小值是微小特征值。

矩阵푨有三个标准正交特征向量,对应特征值λ₁的푣⁽¹⁾对应特征值为λ₂的푣⁽²⁾。所有单位向量u∈ℝ²集合,构成一个单位圆。所有푨u点集合。푨拉伸单位圆方式,将푣⁽i⁾方向空间拉伸λi倍。

奇异值分解(singular value decomposition,SVD)。

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特点分解。

对角矩阵D对角线上成分为矩阵푨的奇异值(singular
value)。矩阵푈的列向量为左奇异向量(left singular
vector),矩阵푉的列向量为右奇异向量(right singular vector)。

奇异值分解(singular value decomposition,SVD)。

平头分解质因素。

对角矩阵D对角线上元素为矩阵푨的奇异值(singular
value)。矩阵푈的列向量为左奇异向量(left singular
vector),矩阵푉的列向量为右奇异向量(right singular vector)。

SVD最有用性质,拓展矩阵求逆到非方矩阵。

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性子分解。

打造具有特定特征值和特征向量矩阵,在目的方向上延伸空间。矩阵分解(decompose)成物征值和特征向量,分析矩阵特定性质。

具有特征值是正数的矩阵为正定(positive
definite)。所有特征值是非负数矩阵为半正定(positive
semidefinite)。所有特征值是负数矩阵为负定(negative
definite)。所有特征值是非正数矩阵为半负定(negative
semidefinite)。半正定矩阵,保险∀x,xᵀ푨x>=0。正定矩阵保障xᵀ푨x=0 =>
x=0。

能够用与푨相关特征分解解释푨的奇异值分解。푨的左奇异向量(left singular
vector)是푨푨ᵀ的特征向量。푨的右奇异向量(right singular
vector)是푨ᵀ푨的特征向量。푨的非零奇异值是푨ᵀ푨特征值的平方根,也是푨푨ᵀ特征值的平方根。

参考资料:

矩阵푨有푛个线性非亲非故特征向量{푣⁽¹⁾,…,푣⁽ⁿ⁾},对应特征值{λ₁,…,λn}。特征向量连接成一个矩阵,每一列是一个特征向量,V=[𝑣⁽¹⁾,…,𝑣⁽ⁿ⁾]。特征值连接成一个向量흺=[λ₁,…,λn]ᵀ。푨的风味分解(eigendecomposition),记푨=Vdiag(흺)V⁻¹。

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持有特征值是正数的矩阵为正定(positive
definite)。所有特征值是非负数矩阵为半正定(positive
semidefinite)。所有特征值是负数矩阵为负定(negative
definite)。所有特征值是非正数矩阵为半负定(negative
semidefinite)。半正定矩阵,有限支撑∀x,xᵀ푨x>=0。正定矩阵保障xᵀ푨x=0 =>
x=0。