这时是无力回天用求原函数的方法计算函数的积分的,利用原函数总结定积分的法子创建在Newton-莱布尼兹公式之上澳门永利备用网址

怎么是数值积分

  数值积分是持筹握算定积分数值的不二法门和辩驳。在数学分析中,给定函数的定积分的乘除不总是实惠的。许多定积分不可能用已知的积分公式获得精确值。数值积分是采用黎曼积分等数学概念,用数值逼近的办法近似总计给定的定积分值。借助于电子总计设备,数值积分能够高速而使得地总计复杂的积分。

  数值积分的要求性源自总计函数的原函数的困难性。利用原函数总括定积分的方法创制在Newton-莱布尼兹公式之上。可是,原函数能够用初等函数表示的函数为数不多,大部分的可积函数的积分不恐怕用初等函数表示,甚至不或许有分析表明式。例如常见的正态分布函数:

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的原函数就不能够用初等函数表示。

  不仅如此,在很多其实使用中,只好知道积分函数在一些特定点的取值,比如天气衡量中的天气温度、湿度、气压等,管农学衡量中的血压、浓度等等。其余,积分函数有大概是有个别微分方程的解。由于过多微分方程只可以数值求解,因而不得不知道函数在一些点上的取值。那时是力不从心用求原函数的艺术计算函数的积分的。

  此外,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,Newton-莱布尼兹公式不再适用,只能使用更宽广的格林公式或Stokes公式,以转账为较低维数上的积分,但不得不用来少数地方。因而,只好动用数值积分计算函数的近似值。

何以是数值积分

  数值积分是计量定积分数值的法门和驳斥。在数学分析中,给定函数的定积分的测算不总是实惠的。许多定积分不可能用已知的积分公式获得精确值。数值积分是应用黎曼积分等数学概念,用数值逼近的不二法门近似计算给定的定积分值。借助于电子总括设备,数值积分能够便捷而使得地持筹握算复杂的积分。

  数值积分的须要性源自总括函数的原函数的困难性。利用原函数总计定积分的章程创立在牛顿-莱布尼兹公式之上。然则,原函数能够用初等函数表示的函数为数不多,当先二分一的可积函数的积分不恐怕用初等函数表示,甚至不可能有分析表达式。例如常见的正态分布函数:

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的原函数就不可能用初等函数表示。

  不仅如此,在无数其实选用中,只可以知道积分函数在有个别特定点的取值,比如天气度量中的天气温度、湿度、气压等,历史学度量中的血压、浓度等等。其它,积分函数有大概是有个别微分方程的解。由于广大微分方程只好数值求解,由此只好知道函数在少数点上的取值。这时是力不从心用求原函数的主意计算函数的积分的。

  其它,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,Newton-莱布尼兹公式不再适用,只可以使用更广大的格林公式或Stokes公式,以转账为较低维数上的积分,但不得不用来少数处境。因而,只好动用数值积分计算函数的近似值。

数值积分的科学普及公式

数值积分的大规模公式

矩形公式

  就是常见的黎曼和,在切割小矩形时,可挑选使用左矩形或右矩形。

  左矩形公式:

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  右矩形公式:

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  左右矩形公式的界别如下图所示:

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左矩形公式

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右矩形公式

矩形公式

  正是广大的黎曼和,在切割小矩形时,可选用选用左矩形或右矩形。

  左矩形公式:

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  右矩形公式:

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  左右矩形公式的区分如下图所示:

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左矩形公式

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右矩形公式

梯形公式 

  与矩形公式不相同,梯形公式直接将点总是,当Δx→∞时,那看起来更接近于与诚实面积:

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梯形公式 

  与矩形公式分歧,梯形公式直接将点总是,当Δx→∞时,那看起来更类似于与忠实面积:

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Simpson公式

  Simpson公式是更尖端并且在骨子里中精确度更高的公式,它的核心思想是面积≈
底边长 ×
平平均高度度。高度是有权重的,为了总计平平均高度度,试图将点用抛物线相连,每一个抛物线连接四个相邻的点:

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  那里直接付出结果。上海教室从x0到x2的面积可计为:

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  总面积:

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辛普森公式

  Simpson公式是更尖端并且在其实中精确度更高的公式,它的核心绪想是面积≈
底边长 ×
平均中度。高度是有权重的,为了总结平均中度,试图将点用抛物线相连,每一个抛物线连接四个相邻的点:

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  那里从来交给结果。上海图书馆从x0到x2的面积可计为:

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  总面积:

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数值积分的行使

数值积分的采用

示例1

  总计y = 1/x在x = 1和 x =
2之间与x轴围成的面积:

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  下边是例外总括方式的相比。

  实际面积:

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  梯形公式:

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  辛普森公式:

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  这么些事例中,Simpson公式远比梯形公式精确,实际上,|真实值
– Simpson值| ≈ (Δx)4,尽管Δx =
0.1,Simpson值将非凡类似真实值。

示例1

  总结y = 1/x在x = 1和 x =
2之间与x轴围成的面积:

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  上边是见仁见智总括办法的自查自纠。

  实际面积:

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  梯形公式:

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  Simpson公式:

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  那么些例子中,Simpson公式远比梯形公式精确,实际上,|真实值
– Simpson值| ≈ (Δx)4,假设Δx =
0.1,Simpson值将极度相近真实值。

示例2

  用梯形公式和Simpson公式估计
澳门永利备用网址 29,Δx=π/4

  梯形公式:

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  辛普森公式:

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  作者:我是8位的

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示例2

  用梯形公式和Simpson公式推断
澳门永利备用网址 32,Δx=π/4

  梯形公式:

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  Simpson公式:

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